預金の利息の計算できますか？｜中学数学が日常生活に役立つ例（1）

こんにちは。オンスク 数学検定3級講座担当講師の添田享です。

連載「中学数学のおさらいをおすすめする理由」、前回は、中学数学で身に付く力についてご説明しました。
今回からは、数学検定3級の知識が皆さんの日常生活や仕事でどのように活かされるかについてお話しします。

例えば、身近な話として、銀行に預金することを考えましょう。

最近は預金の利率は非常に低いのですが、ここではわかりやすいように、100万円を預けて年1%利息が付くと仮定します。
そのとき、10年後に預金はいくらになるかわかりますでしょうか。

通常、預金の利息の計算は「複利計算」で行われます。
複利計算とは、1年目に付いた利息に対して、更に利息が付くというものです。
もちろん、2年目に付いた利息に対しても更に利息が付いて、これが10年間繰り返されるわけです。

では、具体的にどのように計算されるかを見てみましょう。

預金の利息の計算方法（1）利息を別途計算する

1年目の利息は、100万円×1%＝100万円×0.01＝1万円ですので、最初に預けた100万円と合わせて1年後には100＋1＝101万円となります。

2年目の利息は、最初に預けた100万円と1年目の利息を合わせた101万円に対して付くので、101万円×1%＝101万円×0.01＝1.01万円、すなわち、10,100円が利息となります。
よって、2年後の預金額は、101万円＋1.01万円＝102.01万円となります。

以下、これを繰り返していけば、10年後にいくらになるかがわかるのですが、ちょっと計算が面倒ですよね。

預金の利息の計算方法（2）元利合計で計算する

前述のように利息を別に計算するのではなく、最初に預けた100万円と、付いた利息の合計（これを元利合計と言います）を一緒に計算すると楽です。

例えば1年後は、100万円×101％（1.01）＝101万円。
2年後は101万円×101％（1.01）＝102.01万円、と計算します。

2年後の金額の計算に使用している101万円は100×1.01ですので、数学検定3級で出てくる累乗（同じ数を繰り返し掛け算すること。例えば3を2回掛け算したら3²（3の2じょう）と表す）の計算を用いて、計算式を
101万円×1.01
＝100万円×1.01×1.01
＝100万円×1.01²
とすることができます。

1年後は100万円×1.01＝101万円、
2年後は100万円×1.01²＝102.01万円、
3年後は100万円×1.01³＝…
当然10年後は100万円×1.01¹⁰で求められるわけですね。

あとは、1.01¹⁰が計算できれば良いわけですが、単純に1.01を10回掛け算することは非常に大変ですよね。
ここで、この計算を電卓で行うものとして、電卓の便利な機能についてご説明します。

電卓の便利な機能「定数計算」

皆さん、3×3を電卓で計算する場合、「3」「×」「3」「＝」の順番で押して、その計算結果を求めると思います。電卓には通常、この押す回数を省略することができる「定数計算」という機能があります。

同じ数の掛け算の場合は、「3」「×」「＝」と、2回目の「3」を省略して求めることができます。

図1　電卓での定数計算（×3を省略する方法）

この3×3は9となるのですが、次に9×9、すなわち、3²×3²を計算する場合は、さきほど計算した3×3の計算結果の9が電卓に表示されているときに「×」「＝」と押すと、3²×3²を求めることができます。

これは81ですので、また同じく「×」「＝」と押すと81×81＝3⁴×3⁴を求めることができるわけです。これは3⁸のことです（累乗の公式から、3⁴×3⁴=3⁴⁺⁴＝3⁸と求めることができます）。

図2　電卓での定数計算（累乗同士を計算する方法）

このように、電卓を使うと3²、3⁴、3⁸、3¹⁶…を、手間をかけずに計算することができます。もちろん、この3という数を何にしても同じです。

では、先ほどの預金の計算（1.01¹⁰を簡単に計算する）に戻ります。
前述の図の方法で、どちらも手間をかけずに計算することができます。

図1の方法

電卓で1.01を10回掛け算します。
「1.01」「×」「＝」「＝」「＝」「＝」「＝」「＝」「＝」「＝」「＝」で答えは1.104622…となります。

図2の方法

累乗を使って電卓で計算します。
公式から1.01¹⁰=1.01⁸⁺²=1.01⁸×1.01²と変形できます。
まず1.01²を求めます。「1.01」「×」「＝」で1.0201という計算結果が出ます。
次に1.01⁸を求めます。続けて「×」「＝」を入力すれば1.01⁴=1.04060401が、
さらにもう1度「×」「＝」を入力すれば1.01⁸=1.082856…と計算できます。
つまり1.01¹⁰＝1.01⁸×1.01²＝1.082856…×1.0201＝1.104622…と求まります。

よって、10年後の預金は、
100万円×1.01¹⁰
＝100万円×1.104622…
＝110万4622円
となるわけです。

100万円の1%は1万円ですので、単純に10年分の利息を計算すると1万円×10年＝10万円です。しかし実際の利息の計算は複利計算しているため、利息にも利息が付いて、10万円より多い利息が付くのですね。

このようにお金を預けたり、また借りる場合も、その利息については複利計算されますので、このような計算で求められるものは多いのです。
数学検定3級の知識は色々なところで活かされているわけですね。

次回も、中学数学が実生活において役立つという具体例についてお話しします。