ある数が3で割り切れるか即計算するには？｜数学おもしろコラム

数学・数字に関する面白い話や、役に立つ話をお伝えしている「数学おもしろコラム」の第4回です。

今日は、ある数が何の倍数であるかを簡単に調べる方法をご紹介します。

ある数が何の倍数であるかを、どうやって調べますか。
その数で割ってみて、割り切れれば、割った数の倍数ですね。
でも、もっと簡単に判定できる方法があります。 中学校の数学を使って、証明しながら考えてみましょう。

2の倍数

まずは、2の倍数です。
これは簡単ですね。 偶数なら2の倍数です。けた数が多いときも、一の位の数が2の倍数なら、その数全体が2の倍数です。

では、実際に4けたの整数について考えてみます。
4けたの整数の千の位の数をa、百の位の数をb、十の位の数をc、一の位の数をdとします。
4けたの整数は、1000a＋100b＋10c＋dと表わせます。

1000a＋100b＋10c＋d＝2（500a＋50b＋5c）＋d
 
ここで、2（500a＋50b＋5c）は、いつも2の倍数なので、dが2の倍数つまり偶数ならば、全体も2の倍数となります。
けた数が増えても、同じように2でくくって考えることができます。

3の倍数

それぞれの位の数の和が3の倍数なら、その数は3の倍数なのです。
例えば、3465の場合、3＋4＋6＋5＝18で、18は3の倍数なので、3465も3の倍数となります。不思議ですね。

では、2の倍数と同じように、4けたの整数の千の位の数をa、百の位の数をb、十の位の数をc、一の位の数をdとして考えます。

1000a＋100b＋10c＋d＝999a＋99b＋9c＋a＋b＋c＋d
＝3（333a＋33b＋3c）＋（a＋b＋c＋d）

ここで、3（333a＋33b＋3c）は、いつも3の倍数なので、 （a＋b＋c＋d）が3の倍数ならば、全体も3の倍数となります。
けた数が増えても、同じように3でくくって考えることができます。

4の倍数

下二けたが4の倍数なら、全体が4の倍数です。

4けたの整数の千の位の数をa、百の位の数をb、十の位の数をc、一の位の数をdとして考えます。

1000a＋100b＋10c＋d＝4（250a＋25b）＋10c＋d

ここで、4（250a＋25b）は、いつも4の倍数なので、 10c＋dが4の倍数、つまり下二けたが4の倍数ならば、全体も4の倍数となります。
けた数が増えても、同じように4でくくって考えることができます。

5の倍数

一の位が5の倍数なら、全体が5の倍数です。

4けたの整数の千の位の数をa、百の位の数をb、十の位の数をc、一の位の数をdとして考えます。

1000a＋100b＋10c＋d＝5（200a＋20b＋2c）＋d

ここで、5（200a＋20b＋2c）は、いつも5の倍数なので、 dが5の倍数ならば、全体が5の倍数となります。

6の倍数

2の倍数、3の倍数の判定法が成り立てば、6の倍数です。

6＝2×3より、2の倍数でもあり、3の倍数でもあれば、かならず6の倍数です。

7の倍数

他の倍数のように簡単な判定法はないので、ここでは省略します。

8の倍数

下3けたが8の倍数なら、8の倍数です。

4けたの整数の千の位の数をa、百の位の数をb、十の位の数をc、一の位の数をdとして考えます。

1000a＋100b＋10c＋d＝8×125a＋100b＋10c＋d

ここで、8×125aは、いつも8の倍数なので、100b＋10c＋dが8の倍数ならば、全体が8の倍数となります。

けた数が増えても、10000a＝8×1250aのように、千の位より上の位の数は必ず8の倍数になるから、下3けたが8の倍数なら、8の倍数です。

9の倍数

各位の数の和が9の倍数なら、9の倍数です。

4けたの整数の千の位の数をa、百の位の数をb、十の位の数をc、一の位の数をdとして考えます。

1000a＋100b＋10c＋d＝999a＋99b＋9c＋a＋b＋c＋d
＝9（111a＋11b＋c）＋（a＋b＋c＋d）

ここで、9（111a＋11b＋c）は、いつも9の倍数なので、（a＋b＋c＋d）が9の倍数ならば、全体も9の倍数となります。

10の倍数

一の位が0なら、10の倍数です。
一の位が0なら、かならず10で割れますね。

最後にまとめますが、判定法を使って、何の倍数かを簡単にチェックしましょう。

2の倍数：一の位の数が2の倍数
3の倍数：それぞれの位の数の和が3の倍数
4の倍数：下二けたが4の倍数
5の倍数：一の位が5の倍数
6の倍数：2の倍数、3の倍数の判定法が成立
8の倍数：下3けたが8の倍数
9の倍数：各位の数の和が9の倍数
10の倍数：一の位が0

では、次回は倍数の問題を解いてみましょう。

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