図形問題で頭のトレーニング｜数学おもしろコラム

数学・数字に関する面白い話や、役に立つ話をお伝えしている「数学おもしろコラム」の第6回です。

第5回では、倍数の個数の問題を解きました。
今日は、図形の問題にチャレンジしてみましょう。
ポイントは補助線です。
どこに引いたらよいか考えてみましょう。

まずは、よく見かける問題です。

問題１

直線ℓと直線ｍが平行のとき、角xの角度を求めましょう。

考え方と答え

平行線に交わる直線の同位角と錯角（下図参照）は等しいですね。

でも、直線ℓと直線mに交わる直線はないので、もう1本、直線ℓと直線mに平行な線を、下図のように引きます。

直線は180°なので、180－150＝30°
平行線に交わる直線の錯角は等しいので、70°の角の上の部分は30°です。
下の部分は、70－30＝40°
角xは、この角の錯角なので、∠x＝40°が答えですね。

次は少し難しくなります。

問題２

次の長方形の面積を求めましょう。

考え方と答え

直角三角形があるなら、定番の三平方の定理^(※)と考えますね。

※直角三角形の直角をはさむ2辺をa、bとし、斜辺をcとすると、a2＋b2＝c2　となること。ピタゴラスの定理。

でもこの問題はもっと簡単に解けるのです。
下の図のように2本の補助線を引いてみましょう。
1本は長方形の横に平行な線です。

まずは、影をつけた部分に、底辺が6＋14＝20(cm)で、高さが10cmの三角形ができますね。この面積は、

です。

引いた平行線から上にも長方形ができ、三角形の1辺がその対角線となり、対角線の上下の面積は等しくなります。
同じように、下の長方形の対角線の上下の面積は等しいから、問題の長方形の面積は影を付けた部分の2倍になります。

よって、長方形の面積は、100×2＝200(cm²)です。
補助線を2本引けば、簡単に解けますね。

問題３

次の長方形ABCDは面積が440cm²で、BF：FC＝3：1、DG：GC＝1：1です。
四角形AEGDの面積を求めましょう。

考え方と答え

補助線を引いて、中点連結定理（下図参照）、相似の比（※）を使います。

※2つの相似な図形の対応する辺の長さの比

まずは、下の図のように補助線を引きます。

まず三角形AGDは、長方形ABCD面積の１/４なので

次に三角形AEGの面積を求めます。

三角形ABGの面積は、

三角形ABGと三角形AEGで、辺BGと辺EGを底辺と考えると、高さが同じなので、底辺の比が、面積の比となります。

よって、BGとEGの比を求めます。
三角形EBFと三角形EGIは相似です。
BF：FC＝3：1＝6：2です。
中点連結定理より、HI：BF＝1：2＝3：6です。
また、BCとHGの長さは等しいので、HI：IG＝3：5です。

三角形EBFと三角形EGIは相似なので、対応する辺の比は等しく、BE：EG＝BF：GI＝6：5です。
三角形AEGの面積は、

よって、四角形AEGDの面積は、
三角形AGD＋三角形AEG＝110＋100＝210(cm²)です。

中点連結定理と相似の比を使うので、難しかったですね。
この問題でも、解法の第一歩は補助線です。
問題が解けないときは、いろんなところに補助線を描きこんで考えてみましょう。

では、次回から統計学の紹介です。
第7回は、統計学は何の役に立つ？です。

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