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あなたの直観は正しい!?モンティ・ホール問題|数学おもしろコラム

あなたの直観は正しい!?モンティ・ホール問題|数学おもしろコラム

数学・数字に関する面白い話や、役に立つ話をお伝えしている「数学おもしろコラム」の第2回です。

今日は、あなたが普段直感で正しいと思える選択が、数学的には正しくないこともあるというお話をします。
その1つが、アメリカのモンティ・ホールさんが司会を務めたゲーム番組での問題で「モンティ・ホール問題」と言われています。

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モンティ・ホール問題

ステージに3つの部屋があります。
1つの部屋には景品が入っていますが、他の2つの部屋は何も入っていないハズレです。
司会者はどの部屋が当たりかを知っています。

ここで、挑戦者が1つの部屋を選びます。
司会者は挑戦者が選んだ部屋のほかの2つの部屋のうちハズレの部屋のドアを開け、何も入っていないことを見せます。
ここで司会者は挑戦者に、はじめの選択のままでいいか、もう1つの閉じているドアの部屋に変更するかをたずねます。

あなたが挑戦者なら、どうしますか。

私の予想

「景品が入っている当たりの部屋の確率は 1/3変わらないから、部屋を変えても変えなくても同じである。」と思う方が多いのではないでしょうか。
私もそう思いました。

正解

しかし、確率をもとに考えると「選択したドアを変更する」が正解で、当然当たる確率は上がります。
 
部屋が3つあるから、部屋に景品が入っている確率は、それぞれ1/3です。
よって最初に選んだ部屋が当たる確率は1/3ですね。
選ばなかった2つの部屋のどちらかに景品がある確率は1-1/3=2/3です。
 
次に司会者が残り2つのドアのうち片方を開けたときはどうでしょうか。
司会者はハズレを選んで開けたので、まだ開けていない2つの部屋のどちらかに景品が入っています。
このとき、残った2つの部屋の当たる確率は、両方とも1/2のように思うかもしれませんが、違うのです。
 
最初に選んだ部屋の当たりの確率は1/3で、選ばなかった残り2つの部屋のどちらかが当たる確率は2/3です。
司会者が残り2つの部屋の中の片方はハズレであることを教えてくれました。
この時にも、最初に選んだ部屋の当たりの確率は1/3で変わりませんから、残ったもう1つの部屋が当たりの確率は2/3なのです。
 
部屋を変更しないときの確率は1/3で、変更したときの確率は2/3なので、変更すれば当たる確率は2倍にアップします。
だから変更したほうがいいのです。
 
まだ、「本当なの?」と思っている人も多いでしょう。
モンティ・ホールさんが司会する番組が放映されたあと、マリリンという女性が「変更すれば確率は2倍にアップする」と雑誌に回答したところ、数学者もふくめて多くの方から、それはおかしいと非難されたそうです。
ましてや数学者でない方がピンとこないのは当然ですね。

すべての場合を考える

では、次のようにCの部屋が当たりとして、すべての場合を考えてみましょう。

A B C
× ×

1.挑戦者がAの部屋を選んだとき

司会は残りのB、Cの中のハズレのBの部屋を開けるから、残りのCの部屋に変えれば、当たりに変わります。

2.挑戦者がBの部屋を選んだとき

司会は残りのA、Cの中のハズレのAの部屋を開けるから、残りのCの部屋に変えれば、当たりに変わります。

3.挑戦者がCの部屋を選んだとき

司会は残りのA、Bの中のどちらかの部屋を開けます。
部屋を変えると、CからA、Bのどちらかに変えることになり、ハズレに変わります。
 
つまり、3回のうち1回は変えないほうがよく、2回は変えたほうがよかったのです。
すべて確かめてみても、部屋を変えると当たりになる確率が2倍にアップすることがわかります。

部屋が100の場合

直感で考えてもわかりやすいように、部屋が100ある場合を考えてみます。

あなたは、まず1つの部屋を選びます。
その部屋が当たる確率は1/100ですね。

司会者が残った99の部屋の中で、ハズレの98の部屋のドアを開けて見せてくれたとします。
あなたが最初に100の部屋から選んだ1つの部屋と、このときに残った2つの部屋から選んだ1つの部屋とどちらが当たりそうですか?

この場合の2つの部屋の確率は1/10099/100の確率で、部屋を変えれば確率が99倍も高くなるのです。

最初は100の部屋の中に1つの当たりがあり、最後は2つの部屋の中に1つの当たりがあるのだから、かなり確率が上がることは理解できると思います。

常識と思っていることが意外にも間違っている。
そんなことが、まだまだありそうです。

次回は、コップに1杯の水の分子の数のお話です。

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