2019/8/19updated

あなたの直観は正しい！？モンティ・ホール問題｜数学おもしろコラム

バックナンバー：数学おもしろコラム

数学・数字に関する面白い話や、役に立つ話をお伝えしている「数学おもしろコラム」の第2回です。

今日は、あなたが普段直感で正しいと思える選択が、数学的には正しくないこともあるというお話をします。
その1つが、アメリカのモンティ・ホールさんが司会を務めたゲーム番組での問題で「モンティ・ホール問題」と言われています。

モンティ・ホール問題

ステージに3つの部屋があります。
1つの部屋には景品が入っていますが、他の2つの部屋は何も入っていないハズレです。
司会者はどの部屋が当たりかを知っています。

ここで、挑戦者が１つの部屋を選びます。
司会者は挑戦者が選んだ部屋のほかの２つの部屋のうちハズレの部屋のドアを開け、何も入っていないことを見せます。
ここで司会者は挑戦者に、はじめの選択のままでいいか、もう１つの閉じているドアの部屋に変更するかをたずねます。

あなたが挑戦者なら、どうしますか。

私の予想

「景品が入っている当たりの部屋の確率は 1/3で変わらないから、部屋を変えても変えなくても同じである。」と思う方が多いのではないでしょうか。
私もそう思いました。

正解

しかし、確率をもとに考えると「選択したドアを変更する」が正解で、当然当たる確率は上がります。

部屋が3つあるから、部屋に景品が入っている確率は、それぞれ1/3です。
よって最初に選んだ部屋が当たる確率は1/3ですね。
選ばなかった2つの部屋のどちらかに景品がある確率は1－1/3＝2/3です。

次に司会者が残り2つのドアのうち片方を開けたときはどうでしょうか。
司会者はハズレを選んで開けたので、まだ開けていない2つの部屋のどちらかに景品が入っています。
このとき、残った2つの部屋の当たる確率は、両方とも1/2のように思うかもしれませんが、違うのです。

最初に選んだ部屋の当たりの確率は1/3で、選ばなかった残り2つの部屋のどちらかが当たる確率は2/3です。
司会者が残り2つの部屋の中の片方はハズレであることを教えてくれました。
この時にも、最初に選んだ部屋の当たりの確率は1/3で変わりませんから、残ったもう1つの部屋が当たりの確率は2/3なのです。

部屋を変更しないときの確率は1/3で、変更したときの確率は2/3なので、変更すれば当たる確率は2倍にアップします。
だから変更したほうがいいのです。

まだ、「本当なの？」と思っている人も多いでしょう。
モンティ・ホールさんが司会する番組が放映されたあと、マリリンという女性が「変更すれば確率は2倍にアップする」と雑誌に回答したところ、数学者もふくめて多くの方から、それはおかしいと非難されたそうです。
ましてや数学者でない方がピンとこないのは当然ですね。

すべての場合を考える

では、次のようにCの部屋が当たりとして、すべての場合を考えてみましょう。

A	B	C
×	×	○

1．挑戦者がAの部屋を選んだとき

司会は残りのB、Cの中のハズレのBの部屋を開けるから、残りのCの部屋に変えれば、当たりに変わります。

2．挑戦者がBの部屋を選んだとき

司会は残りのA、Cの中のハズレのAの部屋を開けるから、残りのCの部屋に変えれば、当たりに変わります。

3．挑戦者がCの部屋を選んだとき

司会は残りのA、Bの中のどちらかの部屋を開けます。
部屋を変えると、CからA、Bのどちらかに変えることになり、ハズレに変わります。

つまり、3回のうち1回は変えないほうがよく、2回は変えたほうがよかったのです。
すべて確かめてみても、部屋を変えると当たりになる確率が2倍にアップすることがわかります。