連載「数学おもしろコラム」の第1回です。
数学・数字に関する面白い話や、役に立つ話をお伝えしていきます。
今日は、発想の転換を行って、勝ち抜き戦の試合数を簡単に計算する方法をご紹介します。
【問題】
2018年夏の高校野球は第100回記念大会で、全国から56チームが出場しました。
また、地方大会には3787チームが参加しました。
引き分けはなかったとして、地方大会も含めて甲子園の決勝まで何試合あったでしょうか。
甲子園での全試合数を計算すると
決勝は2（21）チームが戦う1（20）試合があります。
準決勝は 4（22）チームが戦う 2（21）試合があります。
準々決勝は 8（23）チームが戦う 4（22）試合があります。
その前は、16（24）チームが戦う 8（23）試合があります。
さらに前は、32（25）チームが戦う 16（24）試合があります。
法則が見えてきましたね。
最初に56チームを32チームに減らす試合も必要です。
これが56－32=24（試合）です。
よって、すべてで1＋2＋4＋8＋16＋24＝55（試合）です。
勝ち抜き戦の全試合数を計算すると
参加チームが、きっちり２の何乗かになっているときは、次のような試合数になります。
高校数学で学習する初項（a）が1、公比（r）が2、項数がnの等比数列の和ですね。
例えば、256チームのときは項数が8なので、その和は
それぞれの参加チーム数と全試合数を見て、その関係がわかりましたか。
負けたチームの数が重要？
甲子園では、やはり優勝校が注目されます。
甲子園での決勝を頂点として試合数を数えていけば、先に計算したような方法になります。
一方、その陰には負けて涙を流したチームが数多くあります。
地方大会からの長い試合は、甲子園での優勝を目指して、敗退したチームの歴史でもあるのです。
涙の話ではなく、数学的な発想の転換でも、負けたチームに着目することは重要です。
甲子園での試合では1試合ごとに1チームが敗退し、最後に甲子園で優勝する1チームを決めるための試合であったと考えれば、56チームが参加して、敗退する56－1＝55（チーム）を決めるために55試合が行われたと考えることができます。
地方大会＋甲子園の全試合数は？
もう簡単ですね。
3787チームが参加して、甲子園での優勝校1チームを決めるために、地方大会と甲子園での試合が行われたのだから、地方大会＋甲子園の試合数は、3787－1＝3786（試合）となります。
地方大会の全試合数は？
地方大会の試合数は、3787チームから甲子園に出場する56チームを選んだと考えれば、3787－56＝3731（試合）が行われました。
この問題に限らず、発想を変えると、簡単に解けることがあります。
正解へたどり着く道は1つではありません。
いろんな見方で問題を解いてみよう！
数学の勉強では、普段から別解を考える習慣を身に付けておきましょう。
そうすれば、実際のテストでいろんな方法でアプローチすることができ、正解できる確率が上がります。
式を変形したり、図に描いてみたりして着眼点を変えることによって、新しい解き方が見つかることも多いです。
また、いろんな解法を思いついたら、より簡単な方法で解いたほうがミスは少なくなります。
ベターな解き方はないかを常に考える習慣も身に付けましょう。
次回は、モンティ・ホール問題のお話です。
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